「力扣」第 63 题：不同路径 II（中等）

这题是动态规划的经典问题：理解「无后效性」：

• 表格复用：具体讲解一下，奇数行和偶数行交替使用；
• 哨兵技巧，回避边界条件的讨论；
• 数学方法；
• 只能向下和只能向右，说明符合动态规划的无后效性。

• 题目链接：63. 不同路径 II (opens new window)。

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

方法一：动态规划

参考代码：

from typing import List


class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        m = len(obstacleGrid)
        if m == 0:
            return 0
        n = len(obstacleGrid[0])
        dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]

        if obstacleGrid[0][0] == 1:
            return 0
        else:
            dp[0][0] = 1

        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if obstacleGrid[i][j] == 1:
                    dp[i][j] = 0
                    continue
                if i == 0:
                    if j == 0:
                        continue
                    dp[0][j] = dp[0][j - 1]
                elif j == 0:
                    dp[i][0] = dp[i - 1][0]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        return dp[-1][-1]


if __name__ == '__main__':
    obstacleGrid = [[0, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 0]]
    s = Solution()
    res = s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid)
    print(res)

总结：

• 表格复用技巧：使用一维数组记录状态值；
• 一维数组 + 哨兵。

参考代码：

Java 代码：

public class Solution {

    // 空间复杂度：O(N)，N 是矩阵的列数

    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        if (m == 0) {
            return 0;
        }
        int n = obstacleGrid[0].length;
        int[] dp = new int[n + 1];

        // 技巧：回避了对边界条件的判断
        dp[1] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
                    dp[j + 1] = 0;
                } else {
                    dp[j + 1] += dp[j];
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }

}

Python 代码：

from typing import List


class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:

        m = len(obstacleGrid)
        if m == 0:
            return 0
        n = len(obstacleGrid[0])

        if obstacleGrid[0][0] == 1:
            return 0

        dp = [0] * n
        # 这一步不要忘记了
        dp[0] = 1
        # 再写后面几行
        for row in range(m):
            for col in range(n):
                # 【就分下面这两种情况就可以了】
                if obstacleGrid[row][col] == 1:
                    dp[col] = 0
                elif col > 0:
                    dp[col] += dp[col - 1]
                else:
                    # 第 0 列不是 0 就是 1
                    # 0 的情况首先判断了
                    # 什么都不做
                    pass
        return dp[-1]

方法二：记忆化递归

参考代码：

class Solution:

    def __init__(self):
        self.cached = []
        self.obstacleGrid = None

    def _path_ways(self, i, j):
        if self.cached[i][j] != 0:
            return self.cached[i][j]
        if self.obstacleGrid[i][j] == 1:
            return 0
        if i == 0 and j == 0:
            return 1
        if i == 0:
            ways = self._path_ways(0, j - 1)
        elif j == 0:
            ways = self._path_ways(i - 1, 0)
        else:
            ways = self._path_ways(i, j - 1) + self._path_ways(i - 1, j)
        self.cached[i][j] = ways
        return ways

    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
        """
        :type obstacleGrid: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        m = len(obstacleGrid)
        if m == 0:
            return 0
        n = len(obstacleGrid[0])
        self.cached = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]
        self.obstacleGrid = obstacleGrid
        return self._path_ways(m - 1, n - 1)

---

作者：liweiwei1419 链接：https://suanfa8.com/dynamic-programming/solutions/0063-unique-paths-ii 来源：算法吧 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。