「力扣」第 120 题： 三角形最小路径和（中等）

掌握如何定义「状态」和写出「状态转移方程」。

• 题目链接：120. 三角形最小路径和 (opens new window)。

题目描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -10^4 <= triangle[i][j] <= 10^4

进阶：

• 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

思路分析

关键的地方在于三角形「从上到下」和「从下到上」思考的方向的不同。

1、从下到上（推荐）：

状态定义：dp[i][j] 表示「自底向上」的最小路径和。

参考代码：

Java 代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Solution {

    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int len = triangle.size();
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        // 注意：这里 len + 1 是为了防止越界
        int[] dp = new int[len + 1];
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < i + 1; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
            // 每一步观察是不是我们想要的，这是调试的重要方法
            // System.out.println(Arrays.toString(dp));
        }
        return dp[0];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Solution();

        List<Integer> step1 = generateIntegerList(new int[]{2});
        List<Integer> step2 = generateIntegerList(new int[]{3, 4});
        List<Integer> step3 = generateIntegerList(new int[]{6, 5, 7});
        List<Integer> step4 = generateIntegerList(new int[]{4, 1, 8, 3});


        List<List<Integer>> triangle = new ArrayList<>();
        triangle.add(step1);
        triangle.add(step2);
        triangle.add(step3);
        triangle.add(step4);
        int minimumTotal = solution.minimumTotal(triangle);
        System.out.println(minimumTotal);
    }

    private static List<Integer> generateIntegerList(int[] nums) {
        List<Integer> arr = new ArrayList<>();
        for (int num : nums) {
            arr.add(num);
        }
        return arr;
    }

}

Python 代码：

from typing import List


class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        size = len(triangle)
        if size == 0:
            return 0
        dp = [0] * size
        for i in range(size):
            dp[i] = triangle[size - 1][i]
        for i in range(size - 2, - 1, -1):
            for j in range(i + 1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j]
        return dp[0]

参考代码：（原地修改，不建议这么做）

from typing import List


class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        size = len(triangle)
        if size == 0:
            return 0
        dp = triangle[-1]
        for i in range(size - 2, -1, -1):
            for j in range(len(triangle[i])):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j]
        return dp[0]

2、从上到下：

---

CSDN 版本

「力扣」第 120 题： 三角形最小路径和（中等）

掌握如何定义「状态」和写出「状态转移方程」。

• 链接 (opens new window)

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

例如，给定三角形：

[
  [2],
 [3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

思路分析：

关键的地方在于三角形「从上到下」和「从下到上」思考的方向的不同。

1、从下到上（推荐）：

状态定义：dp[i][j] 表示「自底向上」的最小路径和。

Java 代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Solution {

    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int len = triangle.size();
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        // 注意：这里 len + 1 是为了防止越界
        int[] dp = new int[len + 1];
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < i + 1; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
            // 每一步观察是不是我们想要的，这是调试的重要方法
            // System.out.println(Arrays.toString(dp));
        }
        return dp[0];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Solution();

        List<Integer> step1 = generateIntegerList(new int[]{2});
        List<Integer> step2 = generateIntegerList(new int[]{3, 4});
        List<Integer> step3 = generateIntegerList(new int[]{6, 5, 7});
        List<Integer> step4 = generateIntegerList(new int[]{4, 1, 8, 3});


        List<List<Integer>> triangle = new ArrayList<>();
        triangle.add(step1);
        triangle.add(step2);
        triangle.add(step3);
        triangle.add(step4);
        int minimumTotal = solution.minimumTotal(triangle);
        System.out.println(minimumTotal);
    }

    private static List<Integer> generateIntegerList(int[] nums) {
        List<Integer> arr = new ArrayList<>();
        for (int num : nums) {
            arr.add(num);
        }
        return arr;
    }
}

Python 代码：

from typing import List


class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        size = len(triangle)
        if size == 0:
            return 0
        dp = [0] * size
        for i in range(size):
            dp[i] = triangle[size - 1][i]
        for i in range(size - 2, - 1, -1):
            for j in range(i + 1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j]
        return dp[0]

Python 代码：（原地修改，不建议这么做）

from typing import List


class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        size = len(triangle)
        if size == 0:
            return 0
        dp = triangle[-1]
        for i in range(size - 2, -1, -1):
            for j in range(len(triangle[i])):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j]
        return dp[0]

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作者：liweiwei1419 链接：https://suanfa8.com/dynamic-programming/solutions/0120-triangle 来源：算法吧 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。