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# 「力扣」第 12 题：整数转罗马数字（中等）

# 题目描述

罗马数字包含以下七种字符： I，V， X， L，C，D 和 M。

字符          数值
I             1
V             5
X             10
L             50
C             100
D             500
M             1000

例如， 罗马数字 2 写做 II ，即为两个并列的 1。12 写做 XII ，即为 X + II 。 27 写做 XXVII, 即为 XX + V + II 。

通常情况下，罗马数字中小的数字在大的数字的右边。但也存在特例，例如 4 不写做 IIII，而是 IV。数字 1 在数字 5 的左边，所表示的数等于大数 5 减小数 1 得到的数值 4 。同样地，数字 9 表示为 IX。这个特殊的规则只适用于以下六种情况：

  • I 可以放在 V (5) 和 X (10) 的左边，来表示 4 和 9。

  • X 可以放在 L (50) 和 C (100) 的左边，来表示 40 和 90。

  • C 可以放在 D (500) 和 M (1000) 的左边，来表示 400 和 900。

给定一个整数，将其转为罗马数字。输入确保在 1 到 3999 的范围内。

示例 1：

输入: 3
输出: "III"

示例 2：

输入: 4
输出: "IV"

示例 3：

输入: 9
输出: "IX"

示例 4：

输入: 58
输出: "LVIII"
解释: L = 50, V = 5, III = 3

示例 5：

输入: 1994
输出: "MCMXCIV"
解释: M = 1000, CM = 900, XC = 90, IV = 4
  • 1 <= num <= 3999

这道题使用贪心算法的直觉来源是：尽可能优先使用较大数值对应的字符，最后转换得到的罗马数字的字符个数更少，字符更少更方便交流使用，这应该是设计罗马数字的人们的初衷。但是这 其中有一个规则，题目中没有强调，为了避免冲淡主题，我们放在后面说。

# 方法：贪心算法

# 生活中的经验

在以前还使用现金购物的时候，找零钱的时候一般商家会尽量选择面值大的纸币（硬币）给顾客，这样才会使得给顾客的纸币（硬币）张数最少，让顾客点钱的时候更方便。

# 题意分析

本题中，首先给出「罗马数字」与「阿拉伯数字」的对应关系：

罗马数字 阿拉伯数字
I
V
X
L
C
D
M

先研究几个例子：

阿拉伯数字 转换规则 罗马数字
直接看表 I
，相同数字简单叠加 II
，相同数字简单叠加 III
题目中说的特例：不能写成 ， 应该看做 IV
直接看表 V
，大数字在前，小数字在后 VI
，大数字在前，小数字在后，相同数字简单叠加 VII
，大数字在前，小数字在后，相同数字简单叠加 VIII
题目中说的特例：不能写成 ， 应该看做 IX
直接看表 X

# 发现规律

可以发现 规律：数字 、、、、、、 是分水岭，转换的时候默认使用加法，如果一个字符超过 次重复使用，就改成减法，这样就可以用两个字符表示一个罗马数字（数量更少），所以 应该看成 ，即 IV。

其实题目中也强调了「做减法的特例」：出现 、、、、、 （、 不讨论了，题目最后说测试用例不包含）。

我们把 所有的 组成罗马数字的最基本的字符组成单元罗列如下，并且按照对应阿拉伯数字降序排序。

罗马数字 阿拉伯数字
M
CM
D
CD
C
XC
L
XL
X
IX
V
IV
I

设计贪心算法如下：每一步都使用当前对应阿拉伯数字较大的罗马数字作为加法因子，最后得到罗马数字表示就是长度最少的。

贪心算法的证明：

我们先说 题目中隐含的条件，这是我在调试的时候发现的：（CM）、（CD），、、、 这些数字只允许出现一次，即： 不能对应 CMCM，应该对应 MDCCC，也就是说，如果能拆分 、、、、、 作为加法因子，它们只能出现一次。

剩下的可以出现多次的字符有 、、、、、、，它们呈明显的倍数关系。例如 ，能用 就不应该用 个 。贪心选择可以保证使用的字符在这样的规则下字符最少。

# 总结

题目中阿拉伯数组转换成罗马数字的规则如下：

  • 、、、、、 对应的罗马数字字符只出现一次；
  • 其余字符可以连续出现的次数不超过 次。

按照贪心的方式，尽可能先选出大的数字进行转换。

参考代码：

Java 代码：

public class Solution {

    public String intToRoman(int num) {
        // 把阿拉伯数字与罗马数字可能出现的所有情况和对应关系，放在两个数组中，并且按照阿拉伯数字的大小降序排列
        int[] nums = {1000, 900, 500, 400, 100, 90, 50, 40, 10, 9, 5, 4, 1};
        String[] romans = {"M", "CM", "D", "CD", "C", "XC", "L", "XL", "X", "IX", "V", "IV", "I"};

        StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
        int index = 0;
        while (index < 13) {
            // 特别注意：这里是等号
            while (num >= nums[index]) {
                stringBuilder.append(romans[index]);
                num -= nums[index];
            }
            index++;
        }
        return stringBuilder.toString();
    }
}

Python 代码：

class Solution:
    def intToRoman(self, num: int) -> str:
        nums = [1000, 900, 500, 400, 100, 90, 50, 40, 10, 9, 5, 4, 1]
        romans = ["M", "CM", "D", "CD", "C", "XC", "L", "XL", "X", "IX", "V", "IV", "I"]

        index = 0
        res = ''
        while index < 13:
            # 注意：这里是等于号，表示尽量使用大的"面值"
            while num >= nums[index]:
                res += romans[index]
                num -= nums[index]
            index += 1
        return res

复杂度分析：

  • 时间复杂度：，这里讨论的是一般情况，忽略题目中测试数据范围的限制。输入整数的位数，决定了循环的次数，所以复杂度为 ；
  • 空间复杂度：，阿拉伯数字与罗马数字的对应关系也取决于输入数字的位数。

补充说明：

  • 一开始我把这个问题想复杂了，觉得需要很复杂的数学证明。直到我把 作为测试数据，后台返回 "MDCCC"，发现带 和 的都是「至多只能使用一次」的字符组合；
  • 事实上，有一个非常经典的贪心算法的问题，叫「找零钱问题」，就是在找零钱的时候，优先使用大的面值的纸币（或硬币）找给顾客，这样顾客得到的纸币的张数最少。这种贪心选择性质可以成立，是与可以使用的纸币（硬币）的面值有关。例如：
    • 可选纸币（硬币）面值列表为 [1, 5, 10]，要找给顾客 元时，给 和 是张数最少的。
    • 可选纸币（硬币）面值列表为 [1, 5, 11]，要找给顾客 元时，就不能用贪心算法， 用了 张，最优解为 用了 张。

结论：可以贪心与可选硬币（纸币）的面值有关。

（本题解于 2020 年 11 月 19 日更新）

作者：liweiwei1419 链接：https://suanfa8.com/greedy/solutions/0012-integer-to-roman 来源：算法吧 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

Last Updated: 11/19/2024, 11:31:47 AM

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